数形结合「求解」希尔伯特第13个数学难题

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来源:新智元

有一个问题是德国数学家大卫 · 希尔伯特在20世纪初预测的23个当时尚未解决的数学问题中的第13个,他预测这些问题将塑造这个领域的未来。

这个问题是关于解七次多项式方程的:

七次方程是否可以用加、减、乘、除的组合加上两个变量的代数函数来求解。

许多数学家已经认为这个问题已经解决了。因为一个名叫弗拉基米尔 · 阿诺德的苏联神童和他的导师安德烈 · 尼古里耶维奇 · 科尔莫哥罗夫在20世纪50年代末发表了证明。

但法布和一些数学家则认为: 科尔莫戈罗夫和阿诺德只解决了这个问题的一个变体。他们的解决方案涉及到连续函数,即没有间断或尖点的函数,包括常见的正弦函数、余弦函数和指数函数等。

但研究人员对希尔伯特是否对这种方法感兴趣存在分歧。许多数学家认为希尔伯特的意思是代数函数,而不是连续函数。

自数学诞生以来,数学家们就一直在探索多项式。3000多年前雕刻的石碑表明,古巴比伦数学家使用一个公式来解决二次多项式,与今天学习代数的学生所学的二次方程相同。

数学家们已经有了有效的方法来解决二、三、甚至四次方程。这些公式就像我们熟悉的二次方程求根公式一样,只涉及代数运算,包括算术和根号(例如平方根)。

但是指数越高,方程就变得越棘手,求解它几乎是不可能的。意大利博学的吉罗拉莫·卡尔达诺发表了求三次和四次多项式根的公式:

一般形式的一元三次方程可以用上面的公式求根,一元四次方程甚至更为复杂。

意大利数学家 Paolo Ruffini 在1799年提出,五次或更高的多项式不能用算术和根号来求解; 挪威尼尔斯·阿贝尔在1824年证明了这一点。

换句话说,不可能有类似的“五次公式”。不过幸运的是,出现了其他一些想法,这些想法为高次多项式求根提供了前进的方向,而高次多项式可以通过替换而简化。

到了19世纪,威廉·哈密顿指出,要找到任何六次多项式方程的根,你只需要通常的算术运算,一些平方根和立方根,以及一个只依赖于两个参数的代数公式。

1975年,哈佛大学的美国代数学家理查德 · 布劳尔(Richard Brauer)引入了“分解度”(resolvent degree)的概念,它描述了表示某个次数的多项式所需的最小项数。(不到一年后,阿诺德和日本数论学家岛村五郎在另一篇论文中提出了几乎相同的定义。)

在布劳尔的框架中,这是第一次尝试这种替换的规则,希尔伯特的第13个问题是否有可能七次多项式的解析度小于3; 后来,他对六次和八次多项式做了类似的猜测。

但是这些问题也引发了一个更广泛的问题: 找到任何多项式的根所需的最小参数数目是多少?

数形结合

处理这个问题的一个自然的方法是思考多项式是什么样的。例如,一个多项式可以写成一个函数的形式,这个函数曲线可以用图表示。然后求根就变成了一个求解函数值为0时,曲线与 x 轴交叉的坐标的问题。

高次多项式则会产生更复杂的图形。

希尔伯特本人通过将几何学应用到这个问题上,发现了一个特别显著的联系。在1927年,希尔伯特描述了一种新的技巧。他首先确定了所有可能的方法来简化九次多项式,并在其中发现了一族特殊的三次曲面。

希尔伯特已经知道,每一个光滑的三次曲面,包含正好27条直线,不管它看起来有多复杂 (这些线随着多项式系数的变化而变化)。

他意识到,如果他知道其中的一条线,他就可以简化九次多项式,找到它的根。这个公式只需要四个参数,换句话说,这意味着解析度最多为4。

希尔伯特把重点放在三次曲面上,以求解一个变量的九次多项式。但是高次多项式呢?

为了用类似的方法解决这些问题,沃尔夫森认为,你可以用这些高次多项式在多个变量中构成的高维「超曲面」来代替这些三次曲面。

对于这些曲面的几何形状人们知之甚少,但在过去的几十年里,数学家们已经能够证明,在某些情况下,超曲面总是有直线的。

希尔伯特用三次曲面上的直线来求九次多项式的思想可以推广到这些高维超曲面上的直线。沃尔夫森用这种方法为某些次数的多项式找到了新的、更简单的公式。这意味着,即使你不能将其可视化,你也可以通过在一个多维三次超曲面上找到一个平面来「简单地」解决一个100度的多项式。

利用这种新方法,确定了九次多项式解析度的 Hilbert 值。对于其他多项式的次数,特别是9次以上的次数,他的方法缩小了可能的解析度值。

参考链接:

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/

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